什么是初等变换介绍

初等变换（elementary transformation）是三种基本的变换，出现在《高等代数》中。初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换，这三者在本质上是一样的。

初等变换初等变换

初等变换线性方程组

所谓一般线性方程组，是指形式为：

的方程组，其中，

代表n个未知数，s 是方程的个数，

称为方程组的系数，

称为常数项。

初等变换初等变换

一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成：

（1）用一非零的数乘以某一方程

（2）把一个方程的倍数加到另一个方程

（3）互换两个方程的位置

于是，将变换

（1）、

（2）、

（3）称为线性方程组的初等变换。

初等变换矩阵初等变换

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。另外：分块矩阵也可以定义初等变换。

定义：如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价

初等变换初等行变换

定义：所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换：

1、）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行

2、）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数

3、）互换矩阵中两行的位置

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作

可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

初等变换初等列变换

同样地，定义初等列变换，即：

1、）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列

2、）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数

3、）互换矩阵中两列的位置

初等变换初等矩阵

定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

引理：对一个

矩阵A作一初等行变换，就相当于在A的左边乘上相应的

的初等矩阵；对A作一初等列变换，就相当于在A的右边乘上相应的

的初等矩阵。

初等变换行列式初等变换

初等变换相关性质

性质1：行列互换（即转置），行列式不变。

性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式

性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等

性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0

性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变

性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号

初等变换初等变换

以下为行列式的初等变换：

1、）换行变换：交换两行（列）。

2、）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。

3、）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。

基于行列式的基本性质，对行列式作初等变换，有如下特征：

换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。