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什么是初等变换介绍

什么是初等变换介绍

初等变换(elementary transformation)是三种基本的变换,出现在《高等代数》中。初等变换包括:线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换,这三者在本质上是一样的。

初等变换初等变换

初等变换线性方程组

所谓一般线性方程组,是指形式为:

的方程组,其中,

代表n个未知数,s 是方程的个数,

称为方程组的系数,

称为常数项。

初等变换初等变换

一般采用消元法来解线性方程组,而消元法实际上是反复对方程进行变换,而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成:

(1)用一非零的数乘以某一方程

(2)把一个方程的倍数加到另一个方程

(3)互换两个方程的位置

于是,将变换

(1)、

(2)、

(3)称为线性方程组的初等变换。

初等变换矩阵初等变换

矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。另外:分块矩阵也可以定义初等变换。

定义:如果B可以由A经过一系列初等变换得到,则称矩阵A与B称为等价

初等变换初等行变换

定义:所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换:

1、)以P中一个非零的数乘矩阵的某一行

2、)把矩阵的某一行的c倍加到另一行,这里c是P中的任意一个数

3、)互换矩阵中两行的位置

一般来说,一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵,当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时,一般写作

可以证明:任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。

初等变换初等列变换

同样地,定义初等列变换,即:

1、)以P中一个非零的数乘矩阵的某一列

2、)把矩阵的某一列的c倍加到另一列,这里c是P中的任意一个数

3、)互换矩阵中两列的位置

初等变换初等矩阵

定义:由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

引理:对一个

矩阵A作一初等行变换,就相当于在A的左边乘上相应的

的初等矩阵;对A作一初等列变换,就相当于在A的右边乘上相应的

的初等矩阵。

初等变换行列式初等变换

初等变换相关性质

性质1:行列互换(即转置),行列式不变。

性质2:一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式

性质3:如果行列式中有两行相同,那么行列式为0,所谓两行相同,即两行对应的元素都相等

性质4:如果行列式中,两行成比例,那么该行列式为0

性质5:把一行的倍数加到另一行,行列式不变

性质6:对换行列式中两行的位置,行列式反号

初等变换初等变换

以下为行列式的初等变换:

1、)换行变换:交换两行(列)。

2、)倍法变换:将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k。

3、)消法变换:把行列式的某一行(列)的所有元素乘以一个数k并加到另一行(列)的对应元素上。

基于行列式的基本性质,对行列式作初等变换,有如下特征:

换法变换的行列式要变号;倍法变换的行列式要变k倍;消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。