什么是等价无穷小介绍
等价无穷小是无穷小之间的一种关系,指的是:在同一自变量的趋向过程中,若两个无穷小之比的极限为1,则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。
等价无穷小定义
等价无穷小的定义:设当
时,
和
均为无穷小量。若
,则称
和
是等价无穷小量,记作
。
例如:由于
,故有
。
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。
求极限时,使用等价无穷小的条件:
- 被代换的量,在取极限的时候极限值为0;
被代换的量,作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换,但是作为加减的元素时就不可以。
等价无穷小性质
当
,就说 β与α是等价无穷小。
常见性质有:设α,α\',β,β\',γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小。
- 若α~α\',β~β\',且
存在,则
若α~β,β~γ,则α~γ
性质1表明等价无穷小的商的极限求法,性质2表明等价无穷小的传递性。
等价无穷小定理
无穷小等价替换定理
设函数
,
,
,在
内有定义,且有
(1)若
,则
;
(2)若
,则
。
证明:
(1)
。
(2)。
例如:利用等价无穷小量代换求极限
解:由于
,
而
,
,
,
故有。
注意:等价无穷小一般只能在乘除中替换,在加减中替换有时会出错(加减时可以整体代换,不一定能随意 单独代换或分别代换)。如在上例中:
若因有
,
,而推出
,则得到的是 错误的结果。
注:可直接等价替换的类型
(以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则)
需要满足一定条件才能替换的类型
若
,则
(该条性质非常重要,这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据)
变上限积分函数(积分变限函数)也可以用等价无穷小进行替换。
等价无穷小公式
当
时,
注:以上各式可通过泰勒展开式推导出来。
等价无穷小推导过程
α和β都是无穷小,且
,
存在(或
),则有
等价无穷小极限
数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中,从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法,分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上,然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的,它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy,A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说,“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值,并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》,1821),这个定值就称为这个变量的极限。其后,外尔斯特拉斯(Weierstrass,K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义,这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中,极限的概念也有同样的重要性,在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。