什么是等价无穷小介绍

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。

等价无穷小定义

等价无穷小的定义：设当

时，

和

均为无穷小量。若

，则称

和

是等价无穷小量，记作

。

例如：由于

，故有

。

等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。

求极限时，使用等价无穷小的条件：

被代换的量，在取极限的时候极限值为0；

被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。

等价无穷小性质

当

，就说 β与α是等价无穷小。

常见性质有：设α，α\'，β，β\'，γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小。

若α~α\'，β~β\'，且

存在，则

若α~β，β~γ，则α~γ

性质1表明等价无穷小的商的极限求法，性质2表明等价无穷小的传递性。

等价无穷小定理

无穷小等价替换定理

设函数

，

，

，在

内有定义，且有

(1)若

，则

；

(2)若

，则

。

证明：

(1)

。

(2)。

例如：利用等价无穷小量代换求极限

解：由于

，

而

，

，

，

故有。

注意：等价无穷小一般只能在乘除中替换，在加减中替换有时会出错（加减时可以整体代换，不一定能随意 单独代换或分别代换）。如在上例中：

若因有

，

，而推出

,则得到的是 错误的结果。

注：可直接等价替换的类型

（以上几个性质可以用来化简一些未定式以方便运用洛必达法则）

需要满足一定条件才能替换的类型

若

，则

（该条性质非常重要，这是判断在加减法中能否分别等价替换的重要依据）

变上限积分函数（积分变限函数）也可以用等价无穷小进行替换。

等价无穷小公式

当

时，

注：以上各式可通过泰勒展开式推导出来。

等价无穷小推导过程

α和β都是无穷小，且

，

存在（或

）,则有

等价无穷小极限

数学分析的基础概念。它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值(极限值)。极限方法是数学分析用以研究函数的基本方法，分析的各种基本概念(连续、微分、积分和级数)都是建立在极限概念的基础之上，然后才有分析的全部理论、计算和应用.所以极限概念的精确定义是十分必要的，它是涉及分析的理论和计算是否可靠的根本问题。历史上是柯西(Cauchy，A.-L.)首先较为明确地给出了极限的一般定义。他说，“当为同一个变量所有的一系列值无限趋近于某个定值，并且最终与它的差要多小就有多小”(《分析教程》，1821)，这个定值就称为这个变量的极限。其后，外尔斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))按照这个思想给出严格定量的极限定义，这就是数学分析中使用的ε-δ定义或ε-Ν定义等。从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则。在分析学的其他学科中，极限的概念也有同样的重要性，在泛函分析和点集拓扑等学科中还有一些推广。