为什么无穷小量一定是有界量

试图回答下这个问题。首先需要明确的一点是：无穷小量是以零为极限的函数。而我们在讨论函数的有界性时，一般是讨论这个函数在其自变量的某个区间内的有界性。而对于无穷小量的有界性，你可以这么理解：假设我们有 α(x)→0 (x→x0),此时称α(x)为x→x0时的无穷小量，而根据函数极限有界性 \'\'如果x→x0（或x→∞时），f(x)→A(A为常数)，则在x0的去心邻域内（或在|x|大于某个正数N时）f(x)必有界 \'\' 可知，无穷小量α(x)有界是指其在x0的去心邻域有界或在|x|大于某个正数N时有界，而不是在其整个函数定义域上有界。

再回到你举的指数函数的例子，你在指数函数的整个定义域上讨论，它肯定是无界的。但因为这里我们讨论的是无穷小量的有界性，所以我们应该讨论当这个指数函数为当x趋向正无穷时的无穷小量时的有界性。即此时我们可以说这个指数函数在|x|大于某个正数N时有界。