帕德逼近推导原理

教育经验

帕德逼近推导原理

帕德逼近公式可以通过利用线性代数和矩阵论的方法进行推导，这里简要介绍一下其中的思路和步骤：

假设有一组由n个数据点构成的二元数据集 {(x1, y1), (x2, y2), ... , (xn, yn)}，我们要用一个多项式函数f(x)去逼近这些数据点。

首先，我们可以将f(x)表示为一个多项式形式，如f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + amx^m，其中m为多项式的次数，a0, a1, a2, ..., am为待求的系数。

然后，我们可以将多项式的系数表示成一个向量a = [a0, a1, a2, ..., am]T，其中T表示矩阵或向量的转置。

接着，我们可以将每个数据点(x, y)表示为一个向量v = [1, x, x^2, ..., x^m]，其中1表示常数项，x, x^2, ..., x^m表示多项式的各个次幂。

将所有数据点对应的向量v排列成一个矩阵X，其中每一行表示一个数据点对应的向量，可以得到如下矩阵方程：

Xa = y

其中y表示所有数据点对应的目标值向量，即[y1, y2, ..., yn]T。

为了求解未知的系数向量a，我们需要对上述矩阵方程进行求解。由于该方程通常是一个超定的线性方程组，即数据点数量n大于多项式次数m，因此我们需要使用最小二乘法来求解。最小二乘法的基本思想是通过最小化残差平方和来找到最优解。残差指的是每个数据点的预测值与真实值之间的差异，即ei = yi - f(xi)。

将残差平方和写成向量形式，即eTe，可以得到最小二乘问题的目标函数：

min