其中和和是任意复数,排除底数是且指数是或负实数的未定义情况。
有如下约定
若则约定
广义二项式定理其实就是复变函数的泰勒级数的特殊情形。其中系数符号的定义是约定的。如果不习惯这个符号,可以用回分式表达。
显然,当时,就变成组合定义,且级数从第项开始,每一项都是(因为从这一项开始,每一项都有系数),即无限项变成有限项。
显然这个级数与二项式定理是兼容的,系数符号也是与组合符号兼容的,所以二项式定理可以由自然数幂扩充至复数幂,组合定义也可以由自然数扩充至复数。
水利万物而不争,
而万物莫能与之争。