构造等比数列方法

给你提供一些思路。

先把问题一般化。递推公式为

a(n+1)=q*an+f(n)，构造等比数列为

a(n+1)+g(n+1)=q(an+g(n))，

所以有

f(n)=q*g(n)-g(n+1)。

1、f(n)=a*n+b，如果q≠1，考虑g(n)=c*n+d，c,d待定，

于是q*(c*n+d)-(c*(n+1)+d)=a*n+b

一般来说，如果f(n)给的是m次多项式，就把g(n)待定成m次多项式

2、f(n)=a*n+b，如果q=1,考虑f(n)=c*n^2+d*n

一般说说，如果f(n)给的是m次多项式，就把g(n)待定成m+1次多项式

3、f(n)=a^n;如果q≠a，考虑g(n)=c*a^n，c待定

如果q=a，考虑g(n)=c*n*a^n，即在上面的情况下乘以一个一次多项式。

4、f(n)=a^n+b*n+c，由于条件是一个线性关系，把1（或2）,3的结果加起来就可以了。

5、f(n)=p(n)*a^n，其中p(n)是一个m次多项式。如果q≠a，考虑g(n)=q(n)*a^n，q(n)是一个m次多项式。否则q(n)是一个m+1次多项式。

其实你都看出点规律了吧？

其实还有许多其它的推广。例如二阶甚至更高阶的递推数列，以及f(n)=sin(p*n*x),f(n)=cos(p*n*x)，或者三角函数、指数函数、多项式函数的任意乘积、求和……方法都和上面差不多，详细可以参考高阶线性常微分方程理论。