a的秩和a的伴随矩阵的秩的关系

矩阵A的秩与A的伴随矩阵的秩的关系

1、如果 A 满秩，则 A* 满秩；

2、如果 A 秩是 n-1，则 A* 秩为 1 ；

3、如果 A 秩 < n-1，则 A* 秩为 0 。（也就是 A* = 0 矩阵）

矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有

AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1

R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定零矩阵的秩为零），故R（A*）=0