相似矩阵有相同的特征向量吗

相似的矩阵必有相同的特征值,但不一定有相同的特征向量。如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。

例

det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)，

即B的特征多项式与A的特征多项式相同，故有相同的特征值。如果A的`特征向量是a的，则B的特征向量就是Pa，设x是相应的特征向量，故Ax＝ax，于是

BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。

求相似矩阵的方法

1、先求出矩阵的特征值 |A-λE|=0

2、对每个特征值λ求出(A-λE)X=0的基础解系a1,a2,..,as

3、把所有的特征向量作为列向量构成矩阵P

则P^(-1)AP 为对角形矩阵. 主对角线上的元素分别对应特征向量的特征值。