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什么是抽象函数介绍

什么是抽象函数介绍

抽象函数是一个数学术语。由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解,同时抽象函数问题又将函数的定义域,值域,单调性,奇偶性,周期性和图像集于一身,所以在高考中不断出现;如2002年上海高考卷12题,2004年江苏高考卷22题,2004年浙江高考卷12题等。

抽象函数函数介绍

抽象函数一般形式

不给出具体解析式,只给出函数的特殊条件或特征的函数即抽象函数。一般形式为

,或许还附有定义域、值域等,如:

, 。

抽象函数抽象函数分类

幂函数:

正比例函数:

对数函数:

指数函数:

三角函数:

其中

周期为

的周期函数:。

抽象函数证明的例子

例 1 函数

为满足

的函数,且

在定义域

上单调递增,且。

求证:。

证明 定义域:相同

∵f(1)=f(2)+f(1/2)∴f(1/2)=-1同理f(1/x)=-f(x)

∵f(x^k)=f(x*x*……*x*x)【k个x】=f(x)+f(x)+……+f(x)+f(x)【k个f(x)】=k*f(x),k∈Z且k>0(x=2时f(x^k)=k)

f(x^k)=f((1/x)^(-k))=f((1/x)*(1/x)*……*(1/x)*(1/x))【-k个(1/x)】=f(1/x)+f(1/x)+……+f(1/x)+f(1/x)【-k个】=(-k)*f(1/x),k∈Z且k<0(x=2时,f(x^k)=-k*f(1/2)=k)

f(x^0)=f(1)=0=0*f(x)(x=2时,f(x^k)=k=0)

∴f(2^k)=k,k∈Z

∵p*f(2^(1/p))=f((2^(1/p))^p)=f(2^(1/p*p))=f(2)=1,k0且p∈Z(

①)

∴f(2^(1/p))=1/p,p∈Z且p0

又∵

② ∴f(2^(k/p))=f((2^(1/p))^k)=k*f(2^(1/p))=k*(1/p)*f(2)=k/p即f(2^m)=m对所有有理数成立

任取z∈R,{1}若f(2^z)2^z(由于单调性以及

③),

在(2^z,y)上必定有q=2^(z+n),z+n为有理数,n>0,

f(q)=z-n0矛盾,导出矛盾所以f(2^z)<z不成立

{2}同理f(2^z)>z不成立

又∵2^z>0,有定义域

所以f(2^z)=z

令x=2^z>0,f(x)=z=以二为底2^z的对数=以二为底x的对数

证毕。(若没有单调性要先证单调性)

抽象函数表达形式

f(m+x)=f(n-x) 对称轴为(m+n)/2

关于

对称

周期为

抽象函数解法举例

抽象函数特殊值法

特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。根据抽象函数具有的性质,选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证,可以解决大部分选择题。

例 2 定义在

上的函数

满足

时,

,则函数

上 ( )

A 有最小值

  B 有最大值

  C 有最小值

  D 有最大值

分析 许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的,如正比例函数

,可抽象为

,与此类似的还有

特殊函数

抽象函数

此题作为选择题可采用特殊值函数

,可得

上单调递减,从而在

上有最小值

.

抽象函数赋值法

根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值,从而解决问题。

例 2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法

解 令

,则由

,

再令

, 代入

①式得

.

是一个奇函数,图像关于原点对称。

∵当x 0,

即f (x)在R上是一个减函数,可得f (x)在上有最小值f(b)。

抽象函数图象性质解法

抽象函数虽然没有给出具体的解析式,但可利用它的图象性质直接来解题,有以下结论:

结论

若函数

满足

,则函数

的图象关于

对称 .

结论

若函数

满足

,则函数

是一个周期函数,周期为

.

例 3

是定义在

上的偶函数,且

,证明

是周期函数.

分析 由

,得

的图象关于

对称,又

是定义在

上的偶函数,图象关于

轴对称,根据上述条件,可先画出符合条件的一个图,那么就可以化无形为有形,化抽象为具体。从图上直观地判断,然后再作证明。

由图可直观得

, 要证其为周期函数 , 只需证

.

证明

是一个周期函数.

例 4 已知定义在

上的偶函数

在区间

上单调递减 ,

,求实数

的取值范围 .

分析 根据函数的定义域,

,但是1- m和m分别在

的哪个区间内是未知的。如果就此讨论,将十分复杂,如果注意到偶函数

有性质

,就可避免复杂的讨论。

抽象函数微分方程解法

如图所示。