泰勒模式的应用

在实际应用中对于具有复杂形式的函数我们常常希望用较为简单的函数形式表示他，而多项式就是这种简单的形式。比如对于指数函数、三角函数，我们可以使用多项式来逼近。

为了逼近（或者说是仿造）目标函数曲线f(x)，首先选择一个切入点(x0,f(f0))，然后让此处的增减性相同,即一阶导数相同。再使其凹凸性相同（二阶导数相同）。然后让更高级的特性相同

因此，整体思路就是让仿造的函数g(x)与f(x)的初始点和从一阶到高阶的导数都相等。然而，在实际操作中并不能无限阶求导，只需要按需（或经验）选择阶数。

假设我们只需要算到n阶，多项式函数为

g(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+……+an(x−x0)ng(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+……+an(x−x0)n

由初始点相等 g(x0)=f(x0)g(x0)=f(x0),得a0=f(x0)a0=f(x0)

由n阶导数相等 gn(x0)=ann!=fn(x0)gn(x0)=ann!=fn(x0),得an=fn(x0)n!an=fn(x0)n!

因此求得多项式

g(x)≈f(x0)+f1(x0)1!(x−x0)+f2(x0)2!(x−x0)2+……+fn(x0)n!(x−x0)n

g(x)≈f(x0)+f1(x0)1!(x−x0)+f2(x0)2!(x−x0)2+……+fn(x0)n!(x−x0)n