什么是交叉同态介绍
交叉同态(crossed homomorphism)亦称导映射，一种特殊的映射。设M是左G模，f：G→M是一个映射。若对任意σ，τ∈G，都有f(στ)=σf(τ)+f(σ)，则称映射f为由群G到左G模M的交叉同态。
交叉同态概念
交叉同态亦称导映射。一种特殊的映射。设M是左G模，f：G→M是一个映射。若对任意σ，τ∈G，都有f(στ)=σf(τ)+f(σ)，则称映射f为由群G到左G模M的交叉同态。若f，g是两个交叉同态，对任意σ∈G，规定
则由G到M的所有交叉同态组成一个加法交换群，记为D(G，M)。设f：G→M是一个映射。若存在一个元素x∈M，使得对任意σ∈G，都有f(σ)=σx-x，则称映射f为由群G到左G模M的主交叉同态或主导映射。由G到M的所有主交叉同态组成D(G，M)的一个子群，记为ID(G，M)。
交叉同态映射
亦称函数。数学的基本概念之一。也是一种特殊的关系。设G是从X到Y的关系，G的定义域D(G)为X，且对任何x∈X都有惟一的y∈Y满足G(x，y)，则称G为从X到Y的映射。即关系G为映射时，应满足下列两个条件：
1、(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2、(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).这个被x∈X所惟一确定的y∈Y，通常表示为y=f(x)(x∈X).f(x)满足：
1、) f(x)∈Y.
2、) G(x，f(x))成立(x∈X).
3、)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
关系G常使用另一些记号：f：X→Y或XY。f与G的关系是y=f(x)(x∈X)，当且仅当G(x，y)成立。可取变域X中的不同元素为值的变元称为自变元或自变量。同样可取变域Y中的不同元素为值的变元称为因变元或因变量。始集X称为映射f的定义域。记为D(f)或dom(f)。终集Y称为映射的陪域，记为C(f)或codom(f)。Y中与X中的元素有关系G的元素的组合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}称为映射的值域，记为R(f)或ran(f)。当y=f(x)时，y称为x的象，而x称为y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。对于AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}称为A的象。记为f(A)。
交叉同态模
一个重要的代数系统。它是一个带算子区A的交换(加)群M。给定集合A与交换群M，若定义了a∈A与x∈M的乘积ax∈M，并且这个积满足条件：
1、a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，
则称A为M的算子区，称M为带算子区A的模，又称为A上的模或A模。这时，由对应(a，x)→ax确定的映射A×M→M，称为A作用到M上的运算。任意a∈A可诱导出M的自同态aM：x→ax，而考虑交换群M能否成为A模就是看能否给出映射μ： A→End(M)， a→aM。
特别地，考虑A是结合环，若满足上述条件1的A模还满足：
2、(a+b)x=ax+bx;
3、(ab)x=a(bx);
即映射μ：A→End(M)为环同态，则称M为左A模或左环模。由于A到M上的运算是写在左侧，所以M就称为左A模，记为AM。类似地，有右A模M，记为MA。若A有单位元1，且又满足条件
41x=x (x∈M);
则称M为酉模或幺模，以下设A模都是酉模。
交叉同态G模
G模是一种重要的模。它是以群为算子区的模。设G为一个乘法群，M是加法交换群，若对每个σ∈G和x∈M，都有惟一确定的积σx∈M，并且对任意x，y∈M，σ，τ∈G，满足条件：
1、σ(x+y)=σx+σy；
2、σ(τx)=(στ)x；
31x=x，其中1是群G的单位元素；
则称M为一个左G模。设M是左G模，若σx=x，σ∈G，x∈M，则称M是平凡左G模。设G是一个群，以ZG表示整数环Z上的群环。若对任意λ=∑nσσ∈ZG，x∈M，规定λx=∑nσ(σx)，则M是左ZG模。反过来，若M是左ZG模，规定σx=(1σ)x，这里σ∈G，x∈M，1∈Z，则M也是左G模。因此，没有必要区分这两类模，这就是说，G模就是ZG模，ZG模也就是G模。
交叉同态同态
设E与F为两个群胚，它们的合成法则分别记为⊥与⊤. 称从E到F中的映射f是群胚同态，如果对于E的任一元素偶(x，y)，有：
设E与F为两个幺半群(两个群)，称从E到F中的映射.f是幺半群(群)的同态，如果f是群胚的同态，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情况下，后一个条件是自然满足的，但是从加法幺半群N到乘法幺半群N的映射x↦0是群胚的同态， 而并不因此就是幺半群的同态)。
设G为乘法群，而a为G的元素。由关系f(n)=an所定义的从加法群Z到G中的映射f是群的同态。
设A与B为两个环(两个体)，称从A到B中的映射f是环(体)的同态，如果f是加法群的同态，且为乘法么半群的同态。这就是说，对A的任一元素偶(x，y)，有f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，并且f将A的单位元变成B的单位元。
例如，设n为非零自然数；使任一有理整数对应其对模n的剩余类映射是从环Z到环Z/nZ上的同态。设E与F为两个A-代数(两个酉A-代数)。称从E到F中的映射f是A-代数(酉A-代数)的同态，如果它是线性映射，并且是乘法群胚(乘法幺半群)的同态。
例如，设E为交换体K上的非零有限n维向量空间，而B为E的基。则从E的全体自同态之酉代数ℒ(E)到K中元素构成的全体n阶方阵之酉代数Mn (K)中的映射，如果该映射使E的任一自同态对应它在基B中的矩阵，则这一映射是酉代数的同态。