什么是半角模型介绍
半角模型包括：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。
由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。
其中，将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”（即图中的△AEF）
半角模型的结论：
半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。即：如图中，EF=BE+DF。
半角模型定义
从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型 。
半角模型主要结论
半角模型结论一
半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。
即如图中，四边形ABCD是正方形，点E,F分别在BC和CD边上，满足∠EAF=45°，连接EF，则有：EF=BE+DF。
证明：
【证法一】（旋转法）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°；
将△ADF绕点A旋转至△ABF\'的位置（F的对应点为F\'），则
△ADF≌△ABF\'，∴∠BAF\'=∠DAF，BF\'=DF，AF=AF\'；
∴∠EAF\'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，
易证△AEF≌△AEF\'(SAS)，∴EF=EF\'=BF\'+BE=DF+BE，
即EF=BE+DF。
（注：若将△ABE绕点A旋转至△ADE\'的位置亦可，证法类同）
【证法二】（截长补短法）
延长CB至点F\'，使BF\'=DF，连接AF\'。
易证△ADF≌△ABF\'(SAS)，∴AF=AF\'，∠BAF\'=∠DAF，
∴∠EAF\'=∠BAE+∠BAF\'=∠BAE+∠DAF=45°=∠EAF，
则△AEF\'≌△AEF(SAS)，∴EF=EF\'=BF\'+BE=BE+DF，
即EF=BE+DF。
（注：若延长CD至点E\'，使DE\'=BE亦可，证法类同）
【证法三】（解析法）
建立如图的平面直角坐标系，则需要证：MN=AM+BN
设正方形OACB的边长为a，直线OM的解析式为
，∵∠MON=45°，
∴由两角和公式，直线ON的斜率
，则直线ON的解析式为。
综上可得，点M、N的坐标分别为
、
，
∴
，
,
故原命题得证。
半角模型结论二
两射线的公共端点是射线截端点两对边所得直角三角形的一个旁心，即射线平分截得的直角三角形两锐角的外角。
证明：
由“结论一”的证明过程可得：
∠AEF=∠AEB，∠AFE=∠AF\'E=∠AFD，根据旁心的定义即可证得点A为直角三角形CEF的旁心。
半角模型结论三
两射线的端点到射线与端点两对边交点的连线的距离等于正方形的边长。
即如图中，作AH⊥EF于点H，则AH=AB。
证明：
【证法一】此性质可由结论二（旁心的性质）证得。
【证法二】由 AE和AF分别平分∠BEH和∠HFD可△ABE≌△AEH，△AFH≌△AFD，进而可得AB=AH=AD
半角模型结论四
过两射线的端点且垂直于射线与端点两对边交点连线的直线分“半角三角形”得的两个三角形与半角三角形外的两个小三角形分别全等。即图中△AFD≌△AFH，△AEB≌△AEH
证明：
此结论容易由结论三并结合“HL”全等判定进行证明，故不再赘述。
当然由此也可以得到：
S△ABE+S△ADF=S△AEF
半角模型结论五
射线截端点两对边所得直角三角形的两直角边相等时，其斜边长取到最小值，其面积取到最大值。
证明：由勾股定理，
，当CE=CF时取等号，此时EF达到最小值，
直角三角形CEF的面积
达到最大值。
半角模型其它结论
当连结正方形的另一条对角线时，会得到更多结论。
证明过程仅选取主要方法，其他证法合理即可。
半角模型结论六
两射线截另一条对角线所成的三条线段可以围成一个直角三角形，且中间一条为斜边。
即：如图，AE、AF截BD于点M、N，则有：
。
证明：将△ADN绕点A旋转至△ABN\'的位置（点N对应点N\'），连结MN\'，
∴△ADN≌△ABN\'，∴BN\'=DN，∠BAN\'=∠DAN，∠ABN\'=∠ADN，
∴∠MBN\'=90°，∠N\'AM=∠NAM，易证△AMN\'≌△AMN，∴MN\'=MN
从而
，即
。
半角模型结论七
共有五个三角形与△AMN相似：
第一组：如图，△BME、△DNF与△AMN相似。
证明：由一组对顶角和一组相等的角（45°）即可证明。
第二组：如图，△ABN、△ADM和△AMN相似。
证明：由一组公共角和一组相等角（45°）即可证明
第三组：如图，△AEF与△AMN相似。
证明：由一组公共角和∠AMN=∠AFE（或∠ANM=∠AEF）即可得到结论。其中∠AMN=∠AFE（或∠ANM=∠AEF）的证明如下：
由半角模型的结论二可得∠AFE=∠AFD；由第一组相似可得∠DFN=∠BME=∠AMN，从而∠AMN=∠AFE。（∠ANM=∠AEF的证明类同，故不再赘述）
半角模型结论八
图形中也存在多组四点共圆。
第一组：A、B、E、N四点共圆
证明：∵∠EAN=∠EBN=45°，
由辅角定理可得A、B、E、N四点共圆。
第二组：A、D、F、M四点共圆
证明：∵∠MAF=∠MDF=45°，
由辅角定理可得A、B、E、N四点共圆。
第三组：C、E、F、N、M五点共圆
证明：∵∠BME=∠AMN=∠DFN=∠NFE，
（已在结论七的第三组中详细证明）
∴E、F、N、M四点共圆；
连结EN、FM，
由第一、第二组四点共圆可得∠ENF=∠EBA=90°，
∴∠ENF+∠C=180°，
∴C、E、N、F四点共圆，
从而C、E、F、N、M五点共圆。
半角模型逆定理
半角模型命题中的条件和结论可以分为以下几条。其中以条件
①为基础，只要满足其它任一条件，其它条件即可成为结论。
①四边形ABCD是正方形；
②∠EAF=45°；
③EF=BE+DF；
④点A是△CEF的旁心（EA、FA分别平分∠BEF、∠DFE）；
⑤AH=AB；
（其他结论均可推出，不再赘述）
下面逐一进行证明：（“→”前是条件，“→”后是结论。当
①
②同时成立时，其他结论作为半角模型的性质，不再证明）
①
②→
③
④
⑤
半角模型原命题，不再证明。
①
③→
②
④
⑤
证明：如图，将△ADF旋转至△ABF\'的位置（点F对应点F\'），
则△ADF≌△ABF\'，∴BF\'=DF，AF=AF\'，
∠DAF=∠BAF\'，∴EF\'=BE+BF\'=BE+DF=EF，易证
△AEF≌△AEF\'(SSS)
∴∠EAF\'=∠EAF，从而∠EAF=∠BAE+∠DAF=45°。
由半角模型原命题，其他结论易证。
（其他方法如截长补短法、解析法等与原命题证明类似，不再赘述）
①
④→
②
③
⑤
∵点A是△CEF的旁心（或EA、FA分别平分∠BEF、∠DFE），（注：条件若改为EA平分∠BEF或FA平分∠DFE亦可）
且AB⊥BE，AH⊥HE，∴AB=AH，易证△ABE≌△AHE，
∴∠BAE=∠HAE；
同理可得∠DAF=∠HAF，
∴∠EAF=
∠BAD=45°
由半角模型原命题，其他结论易证。
（或根据切线长定理，证EF=BE+DF，从而得出结论亦可）
①
⑤→
②
③
④
根据角平分线定理的逆定理（或全等）可得∠EAF=
∠BAD=45°，由半角模型原命题，其他结论易证。
半角模型应用
半角模型是初中几何方面问题的常见模型，常用于基本几何命题的证明和一些边长、角度等的计算。其逆定理则使其可用性更强，避免冗长的证明过程。
以下给出一些例题及答案，以供参考：