什么是子集介绍

子集是一个数学概念：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，则A⊆B。

子集定义

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（任意a∈A则a∈B），那么集合A称为集合B的子集，记为A⊆B或 B⊇A，读作“集合A包含于集合B”或集合B包含集合A”。

即：∀a∈A有a∈B，则A⊆B。

真子集

如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一个元素不属于A，那么A就是B的真子集，可记作：A⊂ B。

符号语言：若∀a∈A，均有a∈B，且

x∈B使x∉A，则A⊊B。

如图1所示，集合A就是集合B的真子集。

子集性质

一、根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。

二、对于空集∅，我们规定∅⊆A，即空集是任何集合的子集。

说明：若A=∅，则∅⊆A仍成立。

证明：给定任意集合A，要证明∅是A的子集。这要求给出所有∅的元素是A的元素；但是，∅没有元素。对有经验的数学家们来说，推论“∅没有元素，所以∅的所有元素是A 的元素\"是显然的；但对初学者来说，有些麻烦。 因为∅没有任何元素，如何使\"这些元素\"成为别的集合的元素？ 换一种思维将有所帮助。

为了证明∅不是A的子集，必须找到一个元素，属于∅，但不属于A。 因为∅没有元素，所以这是不可能的。因此∅一定是A的子集。

三、若A、B、C是集合，则：

自反性：A=A

反对称性：当且仅当

且

时，

传递性：若

且

，则

这个命题说明：包含是一种偏序关系。

四、

，

这个命题说明：对任意集合S，S的幂集按包含排序是一个有界格，与上述命题相结合，则它是一个布尔代数。

五、： 对任意两个集合 A 和 B，下列所有表述等价：

A ⊆ B

A ∩ B =A

A ∪ B = B

A−B=A (当A∩B=∅) ；A−B=C